問(wèn)題：將數(shù)字3, 4, 5, 6, 7, 8及9組成一個(gè)七位數(shù)，使得連續(xù)四個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)，那樣的數(shù)共有多少個(gè)？

答案：將這七個(gè)數(shù)各自除以3，得餘數(shù)分別為0, 1, 2, 0, 1, 2, 0。若果把七個(gè)數(shù)字組成七位數(shù)，連續(xù)四個(gè)一組，那樣由左起第1至4個(gè)數(shù)字之和，與第2至5個(gè)數(shù)字之和，都是3的倍數(shù)，當(dāng)中第2至4重複，於是第1與第5個(gè)數(shù)字，餘數(shù)相同。同理得知，第2與第6，第3與第7，都是餘數(shù)相同。

以上已經(jīng)有三對(duì)餘數(shù)相同，餘下左起第4個(gè)數(shù)字，餘數(shù)必是0，有3個(gè)選擇。

之後考慮第1個(gè)數(shù)字，有6個(gè)選擇；然後考慮第2個(gè)數(shù)字，有4個(gè)選擇；餘下考慮第3個(gè)數(shù)字，有2個(gè)選擇。

於是共有3×6×4×2=144個(gè)選擇。

題解中先對(duì)各數(shù)字進(jìn)行餘數(shù)分類，考慮各自除以3的餘數(shù)，之後發(fā)現(xiàn)部分?jǐn)?shù)字的餘數(shù)會(huì)成對(duì)出現(xiàn)，剩下一個(gè)數(shù)的餘數(shù)必是0。之後考慮到各個(gè)數(shù)有多少個(gè)選擇，相乘後就得到答案。

上邊的題目的知識(shí)門檻較低，只是將幾個(gè)數(shù)字拼成七位數(shù)，令部分?jǐn)?shù)字和是3的倍數(shù)，題目很易明白，而且解題技巧中也只用上了乘法。

其中，較特別的一步是做了餘數(shù)分類，將原本的七個(gè)數(shù)化成了餘數(shù)是0, 1和2的三組，那樣算起來(lái)簡(jiǎn)單一點(diǎn)。題目屬於低門檻、高技巧的一類，對(duì)於初次接觸競(jìng)賽數(shù)學(xué)的學(xué)生有開(kāi)闊眼界的效果。

觀察題目裏七個(gè)數(shù)字，若是隨意改動(dòng)，未必可以拼成那樣的七位數(shù)，發(fā)現(xiàn)題目成立條件是能夠通過(guò)餘數(shù)分類為3對(duì)。若果改動(dòng)一下，七個(gè)數(shù)字中可以包含0，則又要考慮0不能放在最左邊，問(wèn)題又要再分類討論。若果有0, 3, 6及9，那樣成對(duì)的情況又變得更複雜。

另外，連續(xù)四個(gè)數(shù)的條件若是改動(dòng)，變成連續(xù)三個(gè)數(shù)之和，那樣第1、第4與第7餘數(shù)會(huì)相同，那樣餘數(shù)只能是0，其餘的排列就變得少了，缺少發(fā)現(xiàn)特別的第4個(gè)數(shù)字的趣味。

數(shù)字之和是3的倍數(shù)這個(gè)條件可以改動(dòng)一下，比如改成4或5的倍數(shù)，那樣在0至9共10個(gè)數(shù)字當(dāng)中，餘數(shù)的分布雖然有分別，但做起來(lái)也是大同小異。

做完一道數(shù)學(xué)題之後，若稍微改動(dòng)一下條件，也會(huì)產(chǎn)生許多小趣味。時(shí)常改動(dòng)，慢慢發(fā)現(xiàn)在一些常見(jiàn)情景下各條件普遍的作用，對(duì)平常做題目有益處。不過(guò)，也不用時(shí)刻想著怎樣通過(guò)改動(dòng)發(fā)揮什麼巨大的作用，即使簡(jiǎn)單地改動(dòng)一下數(shù)字，已經(jīng)可以令自己對(duì)題解裏的步驟想得通透些，明白各資訊的改動(dòng)怎樣影響整體的論證。

順著一些能理解的問(wèn)題做些小探索，對(duì)訓(xùn)練邏輯能力是有好處的，練起來(lái)又易知易行，比起練難題感覺(jué)親切多了?！?張志基

香港數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)校

簡(jiǎn)介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數(shù)培訓(xùn)之註冊(cè)慈善機(jī)構(gòu)(編號(hào)：91/4924)，每年均舉辦「香港小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克比賽」，旨在發(fā)掘在數(shù)學(xué)方面有潛質(zhì)的學(xué)生。學(xué)員有機(jī)會(huì)選拔成為香港代表隊(duì)，獲免費(fèi)培訓(xùn)並參加海內(nèi)外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。